8. Aplica la regla general de la multiplicación en un modelo de probabilidad uniforme, P(A y B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B) e interpreta la respuesta en términos del modelo.

A las 00:45 de la madrugada, ya no lo puedes aguantar. Te levantas y vas a la cocina para calmar tu estómago vacío, que ha estado gruñendo desde hace casi dos horas. Ves un pan de molde y mermelada en la despensa, agarras un cuchillo y una servilleta de papel. Esparces una tremenda porción de mermelada en un lado de la rebanada de pan, la dejas en la servilleta y pones el cuchillo en el fregadero.

Cuando vas a tomar tu pan con mermelada, se te resbala la servilleta de la mano y tiras el pan al piso. Lo que sucede a continuación es peor que tu pesadilla con payasos de torsos extrañamente alargados: el pan cae al suelo con la mermelada hacia abajo. No hay esperanza de aplicar la regla de los cinco segundos en este caso.

Tu pan con mermelada es un ejemplo de modelo de probabilidad no uniforme. Si tiraras una moneda normal con resultados iguales para cara o sello/cruz, el modelo de probabilidad sería uniforme. Si no existe la misma posibilidad de que salga cara o sello/cruz, los dos resultados no tienen una probabilidad uniforme.

Los estudiantes deben saber primero la diferencia entre un resultado y un evento. Un resultado es solo una posibilidad que ocurre dentro de la muestra. Un evento es un grupo de resultados que comparten una característica en común. Esta diferencia no es obvia a primera vista, pero es importante que los estudiantes la entiendan.

Si tiráramos un dado de seis caras, podríamos decir que hay 6 resultados posibles. Si tiráramos un dado de 12 caras, podríamos decir que hay 12 resultados posibles. Si un estudiante participa en un torneo de Calabozos y dragones y necesita tirar los dos dados al mismo tiempo, uno de los resultados es 5 y 9 en cada dado, respectivamente. Una manera de agrupar éstos en un evento es recolectar todos los resultados posibles que incluyan sacar un 5 en el dado de seis lados, de los cuales hay 12.

Teniendo en cuenta esta diferencia, los estudiantes deben poder reconocer rápidamente que hay situaciones en las cuales dos resultados no tienen la misma probabilidad de ocurrir. Es beneficioso comparar dos ejemplos de situaciones, como la del pan con mermelada, para ilustrar este punto.

Lo más importante que los estudiantes deben aprender es que las dos situaciones, los modelos de probabilidad uniforme y no uniforme, deben manejarse de forma distinta. Por ahora, los estudiantes no poseen las herramientas para abordar los modelos no uniformes, pero no dejes que eso los desmoralice. Van a aprender más en una clase avanzada.

En cuanto a los modelos de probabilidad uniformes, ya saben cómo abordar muchos problemas distintos. El concepto más difícil es el de probabilidad condicional. Saben la fórmula de probabilidad condicional:

Al multiplicar por P(A), podemos derivar la regla de multiplicación para probabilidades.

P(A)P(B|A) = P(A y B)

También podemos aplicar la fórmula de probabilidad condicional a P(A|B). Esto nos da otra regla de multiplicación.

P(B)P(A|B) = P(A y B)

Podemos combinar estas dos ecuaciones para obtener otra regla de multiplicación:

P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A)

¿Qué tiene que ver la regla de multiplicación con los modelos uniformes? Bueno, estas reglas solo se aplican a los modelos de probabilidad uniforme. Los estudiantes deben entender que los modelos no uniformes requieren reglas de multiplicación más complicadas.

En cuanto a las fórmulas de multiplicación, son formas fáciles de calcular las probabilidades cuando no tenemos la que buscamos. Recuerda que el objetivo final es desarrollar un conocimiento funcional de las probabilidades en la mente de los estudiantes. Puedes mostrarles que esto es un resultado secundario práctico que pueden agregar a su caja de herramientas de probabilidades.